微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{2} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$8 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 x - 3 + 0$

ステップ 1.4.2

$8 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$8 x - 3$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $8 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 + 0$

ステップ 2.3.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$8 x - 3 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 x^{2} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 8 x - 3 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$8 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x - 3$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x - 3$ です。

$8 x - 3$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $8 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$8 x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$8 x = 3$

ステップ 5.3

$8 x = 3$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$8 x = 3$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{8}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = \frac{3}{8}$

ステップ 8

$x = \frac{3}{8}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$8$

ステップ 9

$x = \frac{3}{8}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3}{8}$ は極小値です

ステップ 10

$x = \frac{3}{8}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{8}$ で置換えます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 {(\frac{3}{8})}^{2} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{8}$ に当てはめます。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{8^{2}}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.3

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{64}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.4.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 (16)}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{3}{8}) = 4 (\frac{9}{4 \cdot 16}) - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - 3 (\frac{3}{8}) + 1$

ステップ 10.2.1.5

$- 3 (\frac{3}{8})$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.5.1

$- 3$ と $\frac{3}{8}$ をまとめます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 3 \cdot 3}{8} + 1$

ステップ 10.2.1.5.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} + \frac{- 9}{8} + 1$

ステップ 10.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9}{8} + 1$

ステップ 10.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 10.2.2.1

$\frac{9}{8}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - (\frac{9}{8} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

ステップ 10.2.2.2

$\frac{9}{8}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + 1$

ステップ 10.2.2.3

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

ステップ 10.2.2.4

$\frac{1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 10.2.2.5

$\frac{1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{16}{16}$

ステップ 10.2.2.6

$8 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16}$

ステップ 10.2.2.7

$2$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9}{16} - \frac{9 \cdot 2}{16} + \frac{16}{16}$

ステップ 10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 16}{16}$

ステップ 10.2.4

式を簡約します。

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ステップ 10.2.4.1

$- 9$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 16}{16}$

ステップ 10.2.4.2

$9$ から $18$ を引きます。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 16}{16}$

ステップ 10.2.4.3

$- 9$ と $16$ をたし算します。

$f (\frac{3}{8}) = \frac{7}{16}$

ステップ 10.2.5

最終的な答えは $\frac{7}{16}$ です。

$y = \frac{7}{16}$

ステップ 11

$f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 1$ の極値です。

$(\frac{3}{8}, \frac{7}{16})$ は極小値です

ステップ 12

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