微分積分例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

ステップ 1.2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} + 12 x + 0$

ステップ 1.2.4.2

$12 x^{2} + 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} + 12 x$ です。

$12 x^{2} + 12 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} + 12 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} + 12 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $12 x^{2} + 12 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $12 x$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (1)$ で因数分解します。

$12 x (x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

ステップ 3.1.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

ステップ 3.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 3.1.2.2.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 1)$

ステップ 3.3

$- 1$ を $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

ステップ 3.3.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

ステップ 3.3.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

ステップ 3.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

ステップ 3.3.2.2.2

$- 1$ と $8$ をたし算します。

$f (- 1) = 7 + 1$

ステップ 3.3.2.2.3

$7$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = 8$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $8$ です。

$8$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, 8)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, 8)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 1), (- 1, 8)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

ステップ 5.2.1.3

$12$ に $- 1.1$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

ステップ 5.2.2

$14.52$ から $13.2$ を引きます。

$f'' (- 1.1) = 1.32$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1.32$ です。

$1.32$

ステップ 5.3

$- 1.1$ で二次導関数は $1.32$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 1, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 6.2.1.7.2

$2$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

ステップ 6.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

ステップ 6.2.1.7.4

式を書き換えます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

ステップ 6.2.1.8

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

ステップ 6.2.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$- \frac{1}{2}$ で二次導関数は $- 3$ です。これは負の値なので、 $(- 1, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 1, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

ステップ 7.2.1.3

$12$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

ステップ 7.2.2

$0.12$ と $1.2$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 1.32$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.32$ です。

$1.32$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $1.32$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 1, 8), (0, 1)$ です。

$(- 1, 8), (0, 1)$

ステップ 9

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微分積分 例

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