微分係数を利用して増加/減少の場所を求める

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 4 x - 8$ です。

$4 x^{3} + 4 x - 8$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4$ を $4 x^{3} + 4 x - 8$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4$ を $- 8$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4$ を $4 (x^{3}) + 4 x$ で因数分解します。

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$4$ を $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ で因数分解します。

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

有理根検定を用いて $x^{3} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.2.2.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 1 - 2$

ステップ 2.2.2.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 1 - 2$

ステップ 2.2.2.1.3.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 2.2.2.1.3.4

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 2.2.2.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

ステップ 2.2.2.1.5

$x^{3} + x - 2$ を $x - 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

ステップ 2.2.2.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

ステップ 2.2.2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 2.2.2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.2.2.1.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.2.2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 2.2.2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} - x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.2.2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

ステップ 2.2.2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.2.2.1.5.12

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.2.2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.2.2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.2.2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 2.2.2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + x + 2$

ステップ 2.2.2.1.6

$x^{3} + x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x^{2} + x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x^{2} + x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + x + 2 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$1$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{7}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $1$ です。

$1$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

ステップ 5.2.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 - 8$

ステップ 5.2.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$f' (0) = - 8$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 8$ です。

$- 8$

ステップ 5.3

$x = 0$ で微分係数は $- 8$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 1)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

ステップ 6.2.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$32$ と $8$ をたし算します。

$f' (2) = 40 - 8$

ステップ 6.2.2.2

$40$ から $8$ を引きます。

$f' (2) = 32$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $32$ です。

$32$

ステップ 6.3

$x = 2$ で微分係数は $32$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(1, \infty)$ で増加

$(- \infty, 1)$ で減少

ステップ 8

問題を入力

微分係数を利用して増加/減少の場所を求める

微分法の応用