微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4

微分します。

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ステップ 1.4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.4.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

ステップ 1.5.2

項を並べ替えます。

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

ステップ 2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx 3.02727941$

ステップ 3

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

ステップ 4

一次導関数 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ の区間 $(- \infty, 3.02727941)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.1.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 4.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.2.1.4

$12$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 4.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 0 + 1$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5

一次導関数 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ の区間 $(3.02727941, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$6$ を $3$ 乗します。

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ に $216$ をかけます。

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

ステップ 5.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

ステップ 5.2.1.4

$12$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

ステップ 5.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 864$ と $432$ をたし算します。

$f' (6) = - 432 + 1$

ステップ 5.2.2.2

$- 432$ と $1$ をたし算します。

$f' (6) = - 431$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 431$ です。

$- 431$

ステップ 6

$x = 3.02727941$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 3.02727941$ でグラフの山または谷の点があります。

ステップ 7

$3.02727941$ のy座標を求め、グラフの山または谷の点を求めます。

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ステップ 7.1

$f (3.02727941)$ を求め $3.02727941$ のy座標を導きます。

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ステップ 7.1.1

式の変数 $x$ を $3.02727941$ で置換えます。

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ を簡約します。

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ステップ 7.1.2.1

括弧を削除します。

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.2.2.1

$3.02727941$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.2.2

$4$ に $27.7432619$ をかけます。

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.2.3

$3.02727941$ を $4$ 乗します。

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.2.4

$- 1$ に $83.98660555$ をかけます。

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 7.1.2.3.1

$110.9730476$ から $83.98660555$ を引きます。

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

ステップ 7.1.2.3.2

$26.98644204$ と $3.02727941$ をたし算します。

$30.01372146 + 5$

ステップ 7.1.2.3.3

$30.01372146$ と $5$ をたし算します。

$35.01372146$

ステップ 7.2

$x$ 座標と $y$ 座標を点の形で書きます。

$(3.02727941, 35.01372146)$

ステップ 8

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