微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

ステップ 1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

ステップ 1.3

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $6 x^{4} - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{4}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.3.3

$4$ に $6$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $7 x^{4} + 14$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{4}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

ステップ 3.6.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

ステップ 3.6.3

$4$ に $7$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

ステップ 3.7

$14$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $14$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

ステップ 3.8

$28 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

ステップ 4

$\frac{1}{28}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

ステップ 5

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{3}$ です。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.1.2

$24$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.2

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$x$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

ステップ 6.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.5

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $24$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 6.6

$10$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

ステップ 8

極限を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

ステップ 8.2

答えを簡約します。

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ステップ 8.2.1

$24 - 10 \cdot 0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

ステップ 8.2.2

$- 10$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

ステップ 8.2.3

$24$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{28} \cdot 24$

ステップ 8.2.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

ステップ 8.2.4.2

$4$ を $24$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

ステップ 8.2.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

ステップ 8.2.4.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{7} \cdot 6$

ステップ 8.2.5

$\frac{1}{7}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{7}$

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微分積分 例

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