三角関数例

$3 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$3 u^{2} + 2 u - 1 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$3 u^{2} + (- 1 + 3) u - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} - 1 u + 3 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} - 1 u) + 3 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u - 1) + 1 (3 u - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u - 1) (u + 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$3 \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 \cos (x) = 1$

ステップ 3.2.2

$3 \cos (x) = 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 \cos (x) = 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{1}{3})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{3})$ の値を求めます。

$x = 1.23095941$

ステップ 3.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

ステップ 3.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 1.23095941$

ステップ 3.2.6.2

$2 (3.14159265) - 1.23095941$ を簡約します。

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ステップ 3.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 1.23095941$

ステップ 3.2.6.2.2

$6.2831853$ から $1.23095941$ を引きます。

$x = 5.05222588$

ステップ 3.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 4.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 4.2.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(3 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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