微分積分学準備例

${(x + 2)}^{2} - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x + 2)}^{2}$ を $(x + 2) (x + 2)$ に書き換えます。

$(x + 2) (x + 2) - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 2) + 2 (x + 2) - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x^{2} + 4 x + 4 - {(y - \sqrt{5})}^{2} + 4 = 0$

ステップ 1.4

${(y - \sqrt{5})}^{2}$ を $(y - \sqrt{5}) (y - \sqrt{5})$ に書き換えます。

$x^{2} + 4 x + 4 - ((y - \sqrt{5}) (y - \sqrt{5})) + 4 = 0$

ステップ 1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(y - \sqrt{5}) (y - \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y (y - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (y - \sqrt{5})) + 4 = 0$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y \cdot y + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (y - \sqrt{5})) + 4 = 0$

ステップ 1.5.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y \cdot y + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y - \sqrt{5} (- \sqrt{5})) + 4 = 0$

ステップ 1.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y - \sqrt{5} (- \sqrt{5})) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2

$- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ を掛けます。

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ステップ 1.6.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2.2

$\sqrt{5}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + \sqrt{5} \sqrt{5}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + \sqrt{5} \sqrt{5}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2.4

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + \sqrt{5} \sqrt{5}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + {\sqrt{5}}^{1 + 1}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + {\sqrt{5}}^{2}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 1.6.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 5^{\frac{2}{2}}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 5^{\frac{2}{2}}) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 5) + 4 = 0$

ステップ 1.6.1.3.5

指数を求めます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} y + 5) + 4 = 0$

ステップ 1.6.2

$- \sqrt{5} y$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} + y (- \sqrt{5}) - y \sqrt{5} + 5) + 4 = 0$

ステップ 1.6.3

$y (- \sqrt{5})$ から $y \sqrt{5}$ を引きます。

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ステップ 1.6.3.1

$y$ と $- 1$ を並べ替えます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} - 1 \cdot (y \sqrt{5}) - y \sqrt{5} + 5) + 4 = 0$

ステップ 1.6.3.2

$- 1 \cdot y \sqrt{5}$ から $y \sqrt{5}$ を引きます。

$x^{2} + 4 x + 4 - (y^{2} - 2 y \sqrt{5} + 5) + 4 = 0$

ステップ 1.7

分配則を当てはめます。

$x^{2} + 4 x + 4 - y^{2} - (- 2 y \sqrt{5}) - 1 \cdot 5 + 4 = 0$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 - y^{2} + 2 (y \sqrt{5}) - 1 \cdot 5 + 4 = 0$

ステップ 1.8.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 - y^{2} + 2 (y \sqrt{5}) - 5 + 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 4 - y^{2} + 2 y \sqrt{5} - 5 + 4 = 0$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ から $5$ を引きます。

$x^{2} + 4 x - y^{2} + 2 y \sqrt{5} - 1 + 4 = 0$

ステップ 2.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$x^{2} + 4 x - y^{2} + 2 y \sqrt{5} + 3 = 0$

ステップ 2.3

$4 x$ を移動させます。

$x^{2} - y^{2} + 4 x + 2 y \sqrt{5} + 3 = 0$

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