線形代数例

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$4 - 3 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$4 - 6$

ステップ 2.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 6

$- \frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.4

$- \frac{1}{2} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.4.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 7.5.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

ステップ 7.5.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

ステップ 7.5.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 7.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

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