微分積分例

${(x - 3)}^{8}$

ステップ 1

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 u^{7} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$8 {(x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [x - 3]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$8 {(x - 3)}^{7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 {(x - 3)}^{7} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 2.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$8 {(x - 3)}^{7} (1 + 0)$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$8 {(x - 3)}^{7} \cdot 1$

ステップ 2.4.2

$8$ に $1$ をかけます。

$8 {(x - 3)}^{7}$

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