微分積分例

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x^{3} - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $15 x^{2} - 10 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 1.2.2.3

$2$ に $15$ をかけます。

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$30 x - 10 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.3

$- 10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 30 x - 10$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $30 x - 10$ です。

$30 x - 10$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $30 x - 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$30 x - 10 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$30 x = 10$

ステップ 2.3

$30 x = 10$ の各項を $30$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$30 x = 10$ の各項を $30$ で割ります。

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10}{30}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$10$ と $30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$10$ を $10$ で因数分解します。

$x = \frac{10 (1)}{30}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$10$ を $30$ で因数分解します。

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{3}$ を $f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

$5$ と $\frac{1}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.5

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

ステップ 3.1.2.1.7

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

ステップ 3.1.2.1.8

$- 5$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

ステップ 3.1.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

ステップ 3.1.2.2

$- \frac{5}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.1.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $27$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\frac{5}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

ステップ 3.1.2.3.2

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

ステップ 3.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

ステップ 3.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.2.5.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

ステップ 3.1.2.5.2

$5$ から $15$ を引きます。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

ステップ 3.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

ステップ 3.1.2.7

最終的な答えは $- \frac{10}{27}$ です。

$- \frac{10}{27}$

ステップ 3.2

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ で代入して $\frac{1}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{1}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0.2\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$30$ に $0.2\overline{3}$ をかけます。

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

ステップ 5.2.2

$7$ から $10$ を引きます。

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 5.3

$0.2\overline{3}$ で二次導関数は $- 3$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(\frac{1}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.4\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$30$ に $0.4\overline{3}$ をかけます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

ステップ 6.2.2

$13$ から $10$ を引きます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 6.3

$0.4\overline{3}$ で二次導関数は $3$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ です。

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

ステップ 8

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微分積分 例

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