微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[2, 6]$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{- 2}$

ステップ 1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{x^{2}}$ です。

$- \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

微分係数が $[2, 6]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.1

関数が $[2, 6]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.1.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2.2

$f' (x)$ は $[2, 6]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数が $[2, 6]$ で連続なので、関数は $[2, 6]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 4

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微分積分 例

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