代数例

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 5

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

最大の $0$ 要素を持つ行または列を選択します。 $0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。列 $2$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 5.1.3

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

$a_{22}$ の小行列式は、行 $2$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

要素 $a_{22}$ にその余因子を掛けます。

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

$a_{32}$ の小行列式は、行 $3$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

要素 $a_{32}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

項同士を足します。

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$- 1 - λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.3.2.1.2

$- (- 1 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.3.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2

$- 1 (- λ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.2.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.3.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.2.2

$λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3

$- (- 1 \cdot 3)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

ステップ 5.4.2.1.3.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

ステップ 5.4.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

ステップ 5.4.2.3

$2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

ステップ 5.5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

ステップ 5.5.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

ステップ 5.5.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

ステップ 5.5.2.4

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ を展開します。

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.1

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.2

$2 λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.3

$4$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.4

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.4.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.4.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.4.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.6

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.5.6.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.6.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.7

$- 1$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

ステップ 5.5.2.5.8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

ステップ 5.5.2.6

$λ^{2}$ から $2 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

ステップ 5.5.2.7

$2 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

ステップ 5.5.3

$4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

ステップ 5.5.3.2

$4 λ - λ^{2} - 2 λ$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

ステップ 5.5.4

$4 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

ステップ 5.5.5

$2 λ$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

ステップ 5.5.6

$- λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- λ$ を $- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$- λ$ を $- λ^{3}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

ステップ 7.1.1.2

$- λ$ を $- λ^{2}$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

ステップ 7.1.1.3

$- λ$ を $2 λ$ で因数分解します。

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.1.4

$- λ$ を $- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

ステップ 7.1.1.5

$- λ$ を $- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ で因数分解します。

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

ステップ 7.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

たすき掛けを利用して $λ^{2} + λ - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 7.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

ステップ 7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

ステップ 7.3

$λ$ が $0$ に等しいとします。

$λ = 0$

ステップ 7.4

$λ - 1$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$λ - 1$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 1 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$λ = 1$

ステップ 7.5

$λ + 2$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$λ + 2$ が $0$ に等しいとします。

$λ + 2 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$λ = - 2$

ステップ 7.6

最終解は $- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 0, 1, - 2$

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