Precalcolo Esempi

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

L'equazione per calcolare l'angolo $θ$ tra i due vettori dichiara che il prodotto scalare dei due vettori è uguale al prodotto delle loro lunghezze e del coseno dell'angolo che formano tra di loro.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Risolvi l'equazione per $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Trova il prodotto scalare dei vettori.

Tocca per altri passaggi...

Per calcolare il prodotto scalare, trova la somma dei prodotti dei corrispondenti componenti dei vettori.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Sostituisci i componenti dei vettori nell'espressione.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Moltiplica $2$ per $9$ .

$2 + 18$

Somma $2$ e $18$ .

$20$

Step 4

Trova la grandezza di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Per determinare la grandezza del vettore, calcola la radice quadrata della somma dei componenti del vettore.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Sostituisci i componenti del vettore nell'espressione.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Somma $1$ e $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Trova la grandezza di $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Per determinare la grandezza del vettore, calcola la radice quadrata della somma dei componenti del vettore.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Sostituisci i componenti del vettore nell'espressione.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Somma $4$ e $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Nell'equazione, sostituisci i valori per l'angolo tra i vettori.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Moltiplica $5$ per $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $425$ come $5^{2} \cdot 17$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $25$ da $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Estrai i termini dal radicale.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Elimina il fattore comune di $20$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $5$ da $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Elimina il fattore comune.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Riscrivi l'espressione.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{17}}$ per $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Eleva $\sqrt{17}$ alla potenza di $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Somma $1$ e $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Riscrivi ${\sqrt{17}}^{2}$ come $17$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{17}$ come $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Riscrivi l'espressione.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Calcola l'esponente.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Calcola $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$