Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

Scrivi $f (x) = 2 x^{2} + 5$ come un'equazione.

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

Scambia le variabili.

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $2 y^{2} + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 5 = x$

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} = x - 5$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = x - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{2} = x - 5$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

Riscrivi $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ come $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ e confrontali.

Trova l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[5, \infty)$

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il radicando in $\sqrt{2 (x - 5)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (x - 5) \geq 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 5) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 5) \geq 0$ .

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Dividi $x - 5$ per $1$ .

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $2$ .

$x - 5 \geq 0$

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 5$

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[5, \infty)$

Trova il dominio di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ è l'intervallo di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ è il dominio di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6