Precalcolo Esempi

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $\cos (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Step 5

Imposta $2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Risolvi $2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = - 1$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Step 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Step 7

Combina $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$