Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2} e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{4 x})$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.9

Moltiplica $e^{4 x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Passaggio 1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Passaggio 1.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (x) = 16 (x^{2} (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 (e^{4 x} (x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.3.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} x + 8 (x (e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.3.4

Somma $8 e^{4 x} x$ e $8 x e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.4.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.3.4.2

Somma $8 x e^{4 x}$ e $8 x e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.2.4.5

Riordina i fattori in $16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $16 x^{2} e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $16 x e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $2 e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x)$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $2 e^{4 x}$ da $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1)$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{4 x} = 0$

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{4 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{4 x}$ uguale a $0$ .

$e^{4 x} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{4 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{4 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{4 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $8 x^{2} + 8 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $8 x^{2} + 8 x + 1$ uguale a $0$ .

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 8$ , $b = 8$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $32$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $32$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 2.5.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 32$ per $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $32$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.5.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{4}$

Passaggio 2.5.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{4}$

Passaggio 2.5.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 0.1464466$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1464466$ nell'espressione.

$f (- 0.1464466) = {(- 0.1464466)}^{2} e^{4 (- 0.1464466)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $- 0.1464466$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{4 (- 0.1464466)}$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 0.1464466$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{- 0.58578643}$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 (\frac{1}{e^{0.58578643}})$

Passaggio 3.1.2.4

$0.0214466$ e $\frac{1}{e^{0.58578643}}$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{e^{0.58578643}}$

Passaggio 3.1.2.5

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{{2.71828182}^{0.58578643}}$

Passaggio 3.1.2.6

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.58578643$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{1.79640318}$

Passaggio 3.1.2.7

Dividi $0.0214466$ per $1.79640318$ .

$f (- 0.1464466) = 0.01193863$

Passaggio 3.1.2.8

La risposta finale è $0.01193863$ .

$0.01193863$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 0.1464466$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ è $(- 0.1464466, 0.01193863)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 0.1464466, 0.01193863)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 0.85355339$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.85355339$ nell'espressione.

$f (- 0.85355339) = {(- 0.85355339)}^{2} e^{4 (- 0.85355339)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Eleva $- 0.85355339$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{4 (- 0.85355339)}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 0.85355339$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{- 3.41421356}$

Passaggio 3.3.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 (\frac{1}{e^{3.41421356}})$

Passaggio 3.3.2.4

$0.72855339$ e $\frac{1}{e^{3.41421356}}$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{e^{3.41421356}}$

Passaggio 3.3.2.5

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{{2.71828182}^{3.41421356}}$

Passaggio 3.3.2.6

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $3.41421356$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{30.39303779}$

Passaggio 3.3.2.7

Dividi $0.72855339$ per $30.39303779$ .

$f (- 0.85355339) = 0.02397106$

Passaggio 3.3.2.8

La risposta finale è $0.02397106$ .

$0.02397106$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 0.85355339$ in $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ è $(- 0.85355339, 0.02397106)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 0.85355339, 0.02397106)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(- 0.1464466, 0.01193863), (- 0.85355339, 0.02397106)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 0.85355339) \cup (- 0.85355339, - 0.1464466) \cup (- 0.1464466, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 0.85355339)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.95355339$ nell'espressione.

$f'' (- 0.95355339) = 16 {(- 0.95355339)}^{2} e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.95355339$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.95355339) = 16 \cdot (0.90926406 e^{4 (- 0.95355339)}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $16$ per $0.90926406$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{- 3.81421356} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 (\frac{1}{e^{3.81421356}}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.5

$14.54822509$ e $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{e^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{45.34108442} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.8

Dividi $14.54822509$ per $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $16$ per $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.10

Moltiplica $4$ per $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{- 3.81421356} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot \frac{1}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.12

$- 15.25685424$ e $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + \frac{- 15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.14

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.15

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{45.34108442} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.16

Dividi $15.25685424$ per $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 1 \cdot 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $0.33649072$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Passaggio 5.2.1.18

Moltiplica $4$ per $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{- 3.81421356}$

Passaggio 5.2.1.19

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 (\frac{1}{e^{3.81421356}})$

Passaggio 5.2.1.20

$2$ e $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $0.33649072$ da $0.32086186$ .

$f'' (- 0.95355339) = - 0.01562885 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 0.01562885$ e $\frac{2}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.02848125$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.02848125$ .

$0.02848125$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.95355339$ , la derivata seconda è $0.02848125$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 0.85355339)$ .

Crescente su $(- \infty, - 0.85355339)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 {(- \frac{1}{2})}^{2} e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (4) (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (4 (\frac{1}{4})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot - 1} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{- 2} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.10

$4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.11.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.11.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 (8) (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.11.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 \cdot (8 (\frac{- 1}{2})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.11.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 8 \cdot - 1 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.12

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot - 1} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.15

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.16

$- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.18

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.18.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.18.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 6.2.1.18.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))}$

Passaggio 6.2.1.18.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.1.19

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 6.2.1.20

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 6.2.1.21

$2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 6.3

Per $- \frac{1}{2}$ , la derivata seconda è $- 0.27067056$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ .

Decrescente su $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.1464466, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.0464466$ nell'espressione.

$f'' (- 0.0464466) = 16 {(- 0.0464466)}^{2} e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.0464466$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.0464466) = 16 \cdot (0.00215728 e^{4 (- 0.0464466)}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $16$ per $0.00215728$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{- 0.18578643} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 (\frac{1}{e^{0.18578643}}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.5

$0.0345166$ e $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{e^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{1.20416506} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.8

Dividi $0.0345166$ per $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $16$ per $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $4$ per $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{- 0.18578643} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot \frac{1}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.12

$- 0.74314575$ e $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + \frac{- 0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.14

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.15

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{1.20416506} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.16

Dividi $0.74314575$ per $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 1 \cdot 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $0.61714607$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Passaggio 7.2.1.18

Moltiplica $4$ per $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{- 0.18578643}$

Passaggio 7.2.1.19

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 (\frac{1}{e^{0.18578643}})$

Passaggio 7.2.1.20

$2$ e $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $0.61714607$ da $0.02866434$ .

$f'' (- 0.0464466) = - 0.58848173 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 0.58848173$ e $\frac{2}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 1.07242012$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.07242012$ .

$1.07242012$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 0.0464466$ , la derivata seconda è $1.07242012$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 0.1464466, \infty)$ .

Crescente su $(- 0.1464466, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$ .

$(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$

Passaggio 9