Calcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Step 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Combina.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Elimina il fattore comune di $2^{n + 1}$ e $2^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2^{n}$ da $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2^{n}$ da $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Elimina il fattore comune di $3^{n}$ e $3^{n + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3^{n + 1}$ da $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Dividi $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ per $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Sottrai $n$ da $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $n$ con $1$ in $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola l'esponente.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Calcola l'esponente.

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Riscrivi l'espressione.

$2$