Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + 1 = x + 3$

Risolvi $x^{2} + 1 = x + 3$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 1 - x = 3$

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{2} - x - 2 = 0$

Scomponi $x^{2} - x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x + 3$

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 2, - 1$

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = (2) + 3$

Sostituisci $2$ per $x$ in $y = (2) + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 + 3$

Rimuovi le parentesi.

$y = (2) + 3$

Somma $2$ e $3$ .

$y = 5$

Risolvi $y$ quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $- 1$ .

$y = (- 1) + 3$

Sostituisci $- 1$ per $x$ in $y = (- 1) + 3$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = - 1 + 3$

Rimuovi le parentesi.

$y = (- 1) + 3$

Somma $- 1$ e $3$ .

$y = 2$

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

Sottrai $1$ da $3$ .

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ e $2 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ per $2$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Dividi $2$ per $1$ .

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Somma $2$ e $4$ .

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Sottrai $4$ da $1$ .

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Per scrivere $6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

$6$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Somma $12$ e $3$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

Somma $8$ e $1$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Elimina il fattore comune.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

Sottrai $6$ da $15$ .

$\frac{9}{2}$

Step 4