Calcolo Esempi

${(x^{2} + 7)}^{4}$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)$

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$

Riordina i fattori di $8 {(x^{2} + 7)}^{3} x$ .

$f' (x) = 8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x {(x^{2} + 7)}^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{3})$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} + 7)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{2} x) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3} \cdot 1)$

Moltiplica ${(x^{2} + 7)}^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2}) + {(x^{2} + 7)}^{3})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

Moltiplica $6$ per $8$ .

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

Scomponi $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ da $48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2} + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ da $48 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{3}$

Scomponi $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ da $8 {(x^{2} + 7)}^{3}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$

Scomponi $8 {(x^{2} + 7)}^{2}$ da $8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (x^{2} + 7)$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 7)$

Somma $6 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 {(x^{2} + 7)}^{2} (7 x^{2} + 7)$

Riscrivi ${(x^{2} + 7)}^{2}$ come $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ .

$f'' (x) = 8 ((x^{2} + 7) (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

Espandi $(x^{2} + 7) (x^{2} + 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} + 7) + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 (x^{2} + 7)) (7 x^{2} + 7)$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 7 + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 \cdot x^{2} + 7 x^{2} + 7 \cdot 7) (7 x^{2} + 7)$

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 7 x^{2} + 7 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

Somma $7 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (x^{4} + 14 x^{2} + 49) (7 x^{2} + 7)$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (14 x^{2}) + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $14$ per $8$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 8 \cdot 49) (7 x^{2} + 7)$

Moltiplica $8$ per $49$ .

$f'' (x) = (8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$

Espandi $(8 x^{4} + 112 x^{2} + 392) (7 x^{2} + 7)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Somma $2$ e $4$ .

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $8$ per $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 7 + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $7$ per $8$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 x^{2} (7 x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2} x^{2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{2 + 2}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 112 \cdot (7 x^{4}) + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $112$ per $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 112 x^{2} \cdot 7 + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $7$ per $112$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 392 (7 x^{2}) + 392 \cdot 7$

Moltiplica $7$ per $392$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 392 \cdot 7$

Moltiplica $392$ per $7$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 56 x^{4} + 784 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

Somma $56 x^{4}$ e $784 x^{4}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 784 x^{2} + 2744 x^{2} + 2744$

Somma $784 x^{2}$ e $2744 x^{2}$ .

$f'' (x) = 56 x^{6} + 840 x^{4} + 3528 x^{2} + 2744$