Calcolo Esempi

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x - x^{2} = x$

Risolvi $2 x - x^{2} = x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} - x = 0$

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Scomponi $- x$ da $- x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $- x$ da $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Riscrivi $x$ come $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Scomponi $- x$ da $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Scomponi $- x$ da $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 0$

Rimuovi le parentesi.

$y = 0$

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 1$

Rimuovi le parentesi.

$y = 1$

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $1$ e per $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Dividi $0$ per $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{6}$

Step 5