Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x - 7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Riscrivi $\frac{1}{x - 7}$ come ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

$- 3$ e $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 = 0$

Poiché $3 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Step 3

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Step 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Imposta il denominatore in $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Step 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 7)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $7$ da $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $3$ per $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (6) = - 3$

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

In corrispondenza di $x = 6$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 7)$ .

Decrescente su $(- \infty, 7)$ perché $f' (x) < 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $7$ da $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $3$ per $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (8) = - 3$

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

In corrispondenza di $x = 8$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(7, \infty)$ .

Decrescente su $(7, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Step 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9