Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Step 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Step 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Imposta il denominatore in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = 0$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $27$ .

$x^{2} = 0$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Step 4

Risolvi $x^{\frac{1}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $0$ .

${(0)}^{\frac{1}{3}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Riscrivi l'espressione.

$0^{1}$

Calcola l'esponente.

$0$

Elenca tutti i punti.

$(0, 0)$

Step 5