Calcolo Esempi

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.3

$- 9$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.8.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Passaggio 1.1.10

Moltiplica $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.2.1

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.2

$x$ e $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.3

Sposta $9$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.2.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.11.2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.6

Somma $x$ e $x$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.11.2.7

Per scrivere $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.1.11.2.8

$- 9 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.1.11.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.1.11.2.10

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.11.2.11

Sottrai $18 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.11.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- \frac{27}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.2.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.2.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.2.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.2.3.9

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{27}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

Passaggio 1.2.3.11

Sposta $27$ alla sinistra di $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 1.2.3.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $4 x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ per $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Semplifica ${(\frac{27}{8})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{27}{8}$ .

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Eleva $27$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{729}{8^{2}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{729}{64}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{729}{64}$ in $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{729}{64}$ nell'espressione.

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{729}{64}}$ come $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

Passaggio 3.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Riscrivi $729$ come $27^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

Passaggio 3.1.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 9 (\frac{27}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

$- 9$ e $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Moltiplica $- 9$ per $27$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

Passaggio 3.1.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $- \frac{243}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

Passaggio 3.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $64$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{243}{8}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $- 243$ per $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Sottrai $1944$ da $729$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

Passaggio 3.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

Passaggio 3.1.2.7

Moltiplica $\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.7.1

Moltiplica $\frac{729}{64}$ per $\frac{1215}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

Passaggio 3.1.2.7.2

Moltiplica $729$ per $1215$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

Passaggio 3.1.2.7.3

Moltiplica $64$ per $64$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

Passaggio 3.1.2.8

La risposta finale è $- \frac{885735}{4096}$ .

$- \frac{885735}{4096}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{729}{64}$ in $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ è $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{729}{64})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $11.290625$ nell'espressione.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Riscrivi $11.290625$ come ${3.36015252}^{2}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Passaggio 5.2.1.1.4

Calcola l'esponente.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3.36015252$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

Passaggio 5.2.1.3

Dividi $27$ per $13.4406101$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2.00883738$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $2.00883738$ da $2$ .

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.00883738$ .

$- 0.00883738$

Passaggio 5.3

Per $11.290625$ , la derivata seconda è $- 0.00883738$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{729}{64})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{729}{64})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{729}{64}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $11.490625$ nell'espressione.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi $11.490625$ come ${3.38978244}^{2}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Passaggio 6.2.1.1.4

Calcola l'esponente.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3.38978244$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $27$ per $13.55912976$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1.99127823$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $1.99127823$ da $2$ .

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.00872176$ .

$0.00872176$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $11.490625$ , la derivata seconda è $0.00872176$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{729}{64}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{729}{64}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ .

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Passaggio 8