Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

Scrivi $\ln (x^{2} + 16)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

$\frac{2}{x^{2} + 16}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Moltiplica $x^{2} + 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

$2$ e $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $32$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 32$

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 32$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 32$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 32$ per $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Semplifica $\pm \sqrt{16}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 4$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 4$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 4$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 4$

Step 3

Trova il dominio di $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2} + 16)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 16 > 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} > - 16$

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Moltiplica $- 2$ per $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Somma $- 72$ e $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Somma $36$ e $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Eleva $52$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $2704$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $8$ da $- 40$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $8$ da $2704$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

La risposta finale è $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Somma $0$ e $32$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

Somma $0$ e $16$ .

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

Elimina il fattore comune di $32$ e $256$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $32$ da $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $32$ da $256$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

La risposta finale è $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8}$

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 4, 4)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 4, 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Moltiplica $- 2$ per $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Somma $- 72$ e $32$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Somma $36$ e $16$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Eleva $52$ alla potenza di $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $2704$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $8$ da $- 40$ .

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $8$ da $2704$ .

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

La risposta finale è $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(4, \infty)$ perché $f'' (6)$ è negativo.

Funzione concava su $(4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 4, 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(4, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 9