Calcolo Esempi

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

Risolvi $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{64 - x^{2}}$ come ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Riscrivi l'espressione.

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Semplifica.

$64 - x^{2} = 0^{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$64 - x^{2} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 64$

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 64$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 64$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 64$ per $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Semplifica $\pm \sqrt{64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 8$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Sostituisci $x$ per $8$ .

$y = 0$

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

Semplifica $\sqrt{64 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 8$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

Integra per trovare l'area tra $- 8$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

Sottrai $0$ da $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Espandi $(8 + x) (8 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

Applica la proprietà distributiva.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $8$ .

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

Moltiplica $x$ per $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

Somma $- 8 x$ e $8 x$ .

$64 + 0 - x^{2}$

Somma $64$ e $0$ .

$64 - x^{2}$

Riordina $64$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 64$

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 64 - 0$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 64 + 0$

Somma $64$ e $0$ .

$e = 64$

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 0)}^{2} + 64$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

Sia $u_{1} = x + 0$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{1} = x + 0$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 8 + 0$

Somma $- 8$ e $0$ .

$u_{lower} = - 8$

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 8 + 0$

Somma $8$ e $0$ .

$u_{upper} = 8$

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

Sia $u_{1} = 8 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $8 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $8 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Riordina $- 64 \sin^{2} (t)$ e $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Scomponi $64$ da $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Scomponi $64$ da $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Riscrivi $64 \cos^{2} (t)$ come ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Poiché $64$ è costante rispetto a $t$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2}$ e $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Elimina il fattore comune di $64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Dividi $32$ per $1$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Applica la regola costante.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Somma $π$ e $π$ .

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Dividi $π$ per $1$ .

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Somma $0$ e $0$ .

$32 (π + \frac{0}{2})$

Dividi $0$ per $2$ .

$32 (π + 0)$

Somma $π$ e $0$ .

$32 π$

Step 5