Calcolo Esempi

$y = 2 x$ , $y = 2 \sqrt{x}$

Step 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x = 2 \sqrt{x}$

Risolvi $2 x = 2 \sqrt{x}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$2 \sqrt{x} = 2 x$

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Semplifica.

$4 x = {(2 x)}^{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${(2 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$4 x = 2^{2} x^{2}$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 x = 4 x^{2}$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $4 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Scomponi $4 u$ da $4 u - 4 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 u$ da $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Scomponi $4 u$ da $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Scomponi $4 u$ da $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = 2 \sqrt{x}$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 2 \sqrt{0}$

Semplifica $2 \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \sqrt{0}$

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$y = 2 \cdot 0$

Moltiplica $2$ per $0$ .

$y = 0$

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 2 \sqrt{1}$

Semplifica $2 \sqrt{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Rimuovi le parentesi.

$y = 2 \sqrt{1}$

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = 2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = 2$

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(1, 2)$

$(0, 0)$

$(1, 2)$

Step 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} 2 x d x$

Step 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - (2 x) d x$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} - 2 x d x$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} 2 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 x d x$

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $0$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (\frac{2}{3} - 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{2}{3} + 0) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Somma $\frac{2}{3}$ e $0$ .

$2 (\frac{2}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} - 0)$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2} + 0)$

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$\frac{4}{3} - 2 (\frac{1}{2})$

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 2}{2}$

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{3} + \frac{- 1}{1}$

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{3} - 1$

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{4 - 3}{3}$

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{3}$

Step 4