Calcolo Esempi

$\frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 1

Scrivi $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 4})$

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}})$

$2$ e $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 8) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (- 8)) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} - 8) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} - 8) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Riscrivi ${(x^{2} - 4)}^{2}$ come $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Espandi $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (- 8 x^{2}) - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 4 \cdot 16) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} + 32 x^{2} - 64) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{2} x - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 (x \cdot x^{2}) - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{1 + 2} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} - 4 \cdot - 8) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + (8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Espandi $(8 x^{2} + 32) (x^{3} - 4 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} (- 4 x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{2} x) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 4 x^{3}) + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $8$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} + 32 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Moltiplica $- 4$ per $32$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 32 x^{3} + 32 x^{3} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $- 32 x^{3}$ e $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} + 0 - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x + 8 x^{5} - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Somma $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 64 x - 128 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sottrai $128 x$ da $- 64 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5} + 32 x^{3} - 192 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 32 x^{3} - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Scomponi $4 x$ da $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) - 192 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Scomponi $4 x$ da $- 192 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4}) + 4 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 4 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Scomponi $u^{2} + 8 u - 48$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $8$ .

$- 4, 12$

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Elimina il fattore comune di $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x + 2$ da $4 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((4 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x - 2$ da $(4 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x - 2$ da ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((4 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(4 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x (x^{2} + 12) = 0$

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Imposta $x^{2} + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2} + 12$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Risolvi $x^{2} + 12 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 12$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Semplifica $\pm \sqrt{- 12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x^{2} + 12) = 0$ vera.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il denominatore in $\frac{2 x}{x^{2} - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 4 = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4}$

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2, - 2}$

Step 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{4 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 8$ per $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16 \cdot 28}{1728}$

Moltiplica $- 16$ per $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 448}{1728}$

Elimina il fattore comune di $- 448$ e $1728$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $64$ da $- 448$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 (- 7)}{1728}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $64$ da $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 4) = \frac{64 \cdot - 7}{64 \cdot 27}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{27}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{27}$

La risposta finale è $- \frac{7}{27}$ .

$- \frac{7}{27}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 1$ e $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

Moltiplica $- 27$ per $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 (1 + 12)}{- 27}$

Somma $1$ e $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 4 \cdot 13}{- 27}$

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 52}{- 27}$

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f'' (- 1) = \frac{52}{27}$

La risposta finale è $\frac{52}{27}$ .

$\frac{52}{27}$

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 2, 0)$ perché $f'' (- 1)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = \frac{4 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1) = \frac{4 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = \frac{4 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

Somma $1$ e $12$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{4 \cdot 13}{- 27}$

Moltiplica $4$ per $13$ .

$f'' (1) = \frac{52}{- 27}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (1) = - \frac{52}{27}$

La risposta finale è $- \frac{52}{27}$ .

$- \frac{52}{27}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, 2)$ perché $f'' (1)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 8

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{4 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Somma $4$ e $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Sottrai $2$ da $4$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{16 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{16 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $216$ per $8$ .

$f'' (4) = \frac{16 \cdot 28}{1728}$

Moltiplica $16$ per $28$ .

$f'' (4) = \frac{448}{1728}$

Elimina il fattore comune di $448$ e $1728$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $64$ da $448$ .

$f'' (4) = \frac{64 (7)}{1728}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $64$ da $1728$ .

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (4) = \frac{64 \cdot 7}{64 \cdot 27}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4) = \frac{7}{27}$

La risposta finale è $\frac{7}{27}$ .

$\frac{7}{27}$

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 9

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(0, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 10