Calcolo Esempi

$x^{3} - 3 x + 1$

Step 1

Scrivi $x^{3} - 3 x + 1$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Step 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 + 0$

Somma $3 x^{2} - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Step 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 3$

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $3$ per $3$ .

$x^{2} = 1$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Step 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, - 1$ .

$1, - 1$

Step 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 3$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 3$

Sottrai $3$ da $12$ .

$f' (- 2) = 9$

La risposta finale è $9$ .

$9$

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 3$

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - 3$

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 3$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 1)$ .

Decrescente su $(- 1, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Step 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 3$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (2) = 12 - 3$

Sottrai $3$ da $12$ .

$f' (2) = 9$

La risposta finale è $9$ .

$9$

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $9$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, \infty)$ .

Crescente su $(1, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Step 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 1)$

Step 10