Calcolo Esempi

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 1

Rimuovi le parentesi.

$y = t \ln^{2} (3 t)$

Step 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (3 t))$

Step 3

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Step 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = \ln^{2} (3 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (3 t)] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \ln (3 t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (3 t)$ .

$t (2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [\ln (3 t)]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 t$ .

$t (2 \ln (3 t) (\frac{1}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{3 t}$ e $2$ .

$t (\frac{2}{3 t} \ln (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{2}{3 t}$ e $\ln (3 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (3 t)}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

$\frac{2 \ln (3 t)}{3 t}$ e $t$ .

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (3 t) t}{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [3 t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 \ln (3 t)}{3} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

$3$ e $\frac{2 \ln (3 t)}{3}$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 \ln (3 t)}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $6 \ln (3 t)$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (2 \ln (3 t))}{3 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \ln (3 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Dividi $2 \ln (3 t)$ per $1$ .

$2 \ln (3 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) \cdot 1 + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t) \cdot 1$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\ln^{2} (3 t)$ per $1$ .

$2 \ln (3 t) + \ln^{2} (3 t)$

Riordina i termini.

$\ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$

Step 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (3 t) + 2 \ln (3 t)$