Calcolo Esempi

$x = 1$ , $x = 3$ , $y = x^{3} - 8$ , $y = 0$

Step 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{3} - 8 = 0$

Risolvi $x^{3} - 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 8$

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 8 = 0$

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0 + y = 0$

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x^{2} + 2 x + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Risolvi $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Sottrai $16$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = 0$

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 2$

$y = 0, x = - 1 + i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 1 - i \sqrt{3}$

Step 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Step 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Integra per trovare l'area tra $1$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{3} 0 - (x^{3} - 8) d x$

Sottrai $x^{3} - 8$ da $0$ .

$\int_{1}^{3} - (x^{3} - 8) d x$

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{3} - x^{3} + 8 d x$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} - x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} 8 d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 8 d x$

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3}) + 8 x]_{1}^{3}$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $3$ e per $1$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 8 x]_{1}^{3}$

Calcola $8 x$ per $3$ e per $1$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (\frac{81}{4} - \frac{1}{4}) + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{81 - 1}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Sottrai $1$ da $81$ .

$- \frac{80}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Elimina il fattore comune di $80$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $80$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 (1)} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{20}{1} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Dividi $20$ per $1$ .

$- 1 \cdot 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Moltiplica $- 1$ per $20$ .

$- 20 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 1$

Moltiplica $8$ per $3$ .

$- 20 + 24 - 8 \cdot 1$

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 20 + 24 - 8$

Sottrai $8$ da $24$ .

$- 20 + 16$

Somma $- 20$ e $16$ .

$- 4$

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 - (0) d x$

Sottrai $0$ da $x^{3} - 8$ .

$\int_{1}^{3} x^{3} - 8 d x$

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} x^{3} d x + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - 8 d x$

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3} + - 8 x]_{1}^{3}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3}$ e $- 8 x]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 8 x]_{1}^{3}$

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Calcola $\frac{1}{4} x^{4} - 8 x$ per $3$ e per $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 81 - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$\frac{1}{4}$ e $81$ .

$\frac{81}{4} - 8 \cdot 3 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$\frac{81}{4} - 24 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Per scrivere $- 24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} - 24 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

$- 24$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{81}{4} + \frac{- 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{81 - 24 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$\frac{81 - 96}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Sottrai $96$ da $81$ .

$\frac{- 15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1)$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 8 \cdot 1)$

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot 1)$

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8)$

Per scrivere $- 8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4})$

$- 8$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{15}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4})$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 8 \cdot 4}{4}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{1 - 32}{4}$

Sottrai $32$ da $1$ .

$- \frac{15}{4} - \frac{- 31}{4}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{4} - - \frac{31}{4}$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{15}{4} + 1 (\frac{31}{4})$

Moltiplica $\frac{31}{4}$ per $1$ .

$- \frac{15}{4} + \frac{31}{4}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 15 + 31}{4}$

Somma $- 15$ e $31$ .

$\frac{16}{4}$

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{1}$

Dividi $4$ per $1$ .

$4$

Step 4