Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 1

Scrivi $y = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$

Step 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} [5]$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Somma $3 x^{2} - 14 x - 5$ e $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 14 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14 x$ rispetto a $x$ è $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Moltiplica $- 14$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Somma $6 x - 14$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Step 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (5)$

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

Somma $3 x^{2} - 14 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 14 x - 5$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5$

Step 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = - 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $- 14$ da $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

Riscrivi $- 14$ come $1$ più $- 15$ .

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

Moltiplica $x$ per $1$ .

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $3 x + 1$ uguale a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Risolvi $3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 1$

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{3}$

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Step 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1}{3}, 5$

Step 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{1}{3}) - 14$

Step 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$6 (\frac{- 1}{3}) - 14$

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- 1}{3} - 14$

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- 1}{3} - 14$

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot - 1 - 14$

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 14$

Sottrai $14$ da $- 2$ .

$- 16$

Step 11

$x = - \frac{1}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{3}$ è un massimo locale

Step 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Moltiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

$- 7$ e $\frac{1}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 5$

Moltiplica $- 5 (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 5$

$5$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 5$

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{7}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 5$

Moltiplica $\frac{7}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 5$

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 5$

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 5$

Scrivi $5$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Moltiplica $\frac{5}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $5$ per $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 5 \cdot 27}{27}$

Moltiplica $5$ per $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 21 + 45 + 135}{27}$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $21$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 22 + 45 + 135}{27}$

Somma $- 22$ e $45$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{23 + 135}{27}$

Somma $23$ e $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{158}{27}$

La risposta finale è $\frac{158}{27}$ .

$y = \frac{158}{27}$

Step 13

Calcola la derivata seconda per $x = 5$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (5) - 14$

Step 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30 - 14$

Sottrai $14$ da $30$ .

$16$

Step 15

$x = 5$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5$ è un minimo locale

Step 16

Trova il valore di y quando $x = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f (5) = {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (5) = 125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 5$

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5) = 125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 5$

Moltiplica $- 7$ per $25$ .

$f (5) = 125 - 175 - 5 \cdot 5 + 5$

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (5) = 125 - 175 - 25 + 5$

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $175$ da $125$ .

$f (5) = - 50 - 25 + 5$

Sottrai $25$ da $- 50$ .

$f (5) = - 75 + 5$

Somma $- 75$ e $5$ .

$f (5) = - 70$

La risposta finale è $- 70$ .

$y = - 70$

Step 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{158}{27})$ è un massimo locale

$(5, - 70)$ è un minimo locale

Step 18