Calcolo Esempi

$\frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 1

Scrivi $\frac{x - 4}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 (x - 4) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 4) x}{x^{4}}$

Scomponi $x$ da $- 2 (x - 4) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 2 (x - 4))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x^{4}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 4)}{x^{3}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 8}{x^{3}}$

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 8}{x^{3}}$

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 8}{x^{3}}$

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 8}{x^{3}}$

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 8)}{x^{3}}$

Riscrivi $- (x - 8)$ come $- 1 (x - 8)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 8)}{x^{3}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x - 8}{x^{3}}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x - 8}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x - 8}{x^{3}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - (x - 8) (3 x^{2})}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3} - 3 (x - 8) x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x - 3 (x - 8) x^{2}}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 (x - 8) x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x + x^{2} (- 3 (x - 8))$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{6}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (x - 3 (x - 8))}{x^{2} x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + \frac{x - 8}{x^{3}} \cdot 0$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{x - 8}{x^{3}}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}} + 0$

Somma $- \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 (x - 8)}{x^{4}}$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x - 3 \cdot - 8}{x^{4}}$

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 3$ per $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{x - 3 x + 24}{x^{4}}$

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x + 24}{x^{4}}$

Scomponi $2$ da $- 2 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 24}{x^{4}}$

Scomponi $2$ da $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x) + 2 (12)}{x^{4}}$

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x + 12)}{x^{4}}$

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) + 12)}{x^{4}}$

Riscrivi $12$ come $- 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x) - 1 \cdot - 12)}{x^{4}}$

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x - 12))}{x^{4}}$

Riscrivi $- (x - 12)$ come $- 1 (x - 12)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x - 12))}{x^{4}}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x - 12)}{x^{4}})$

Moltiplica $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}}$

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (x - 12)}{x^{4}} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x - 12) = 0$

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 12) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 12) = 0$ .

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Dividi $x - 12$ per $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $2$ .

$x - 12 = 0$

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 12$

Step 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x - 4}{x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il denominatore in $\frac{x - 4}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Step 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 12) \cup (12, \infty)$

Step 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ e ${(- 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2 ((- 2) - 12)}{{(- 2)}^{4}}$

Scomponi $- 2$ da $- 1 (- 2) (- 2 - 12)$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{{(- 2)}^{4}}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $- 2$ da ${(- 2)}^{4}$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{- 2 (- 1 (- 2 - 12))}{- 2 {(- 2)}^{3}}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 12)}{{(- 2)}^{3}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $12$ da $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{{(- 2)}^{3}}$

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 14}{- 8}$

Moltiplica $- 1$ per $- 14$ .

$f'' (- 2) = \frac{14}{- 8}$

Elimina il fattore comune di $14$ e $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $14$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (7)}{- 8}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot - 4}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{7}{- 4}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2) = - \frac{7}{4}$

La risposta finale è $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 12)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{{(2)}^{4}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da ${(2)}^{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{2 ((2) - 12)}{2 \cdot 2^{3}}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{(2) - 12}{2^{3}}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $12$ da $2$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{2^{3}}$

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{- 10}{8}$

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$f'' (2) = \frac{2 (- 5)}{8}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{- 5}{4}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (2) = - \frac{5}{4}$

La risposta finale è $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, 12)$ perché $f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, 12)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Step 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(12, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $14$ nell'espressione.

$f'' (14) = \frac{2 ((14) - 12)}{{(14)}^{4}}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $12$ da $14$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{14^{4}}$

Eleva $14$ alla potenza di $4$ .

$f'' (14) = \frac{2 \cdot 2}{38416}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (14) = \frac{4}{38416}$

Elimina il fattore comune di $4$ e $38416$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $4$ .

$f'' (14) = \frac{4 (1)}{38416}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $4$ da $38416$ .

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Elimina il fattore comune.

$f'' (14) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 9604}$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (14) = \frac{1}{9604}$

La risposta finale è $\frac{1}{9604}$ .

$\frac{1}{9604}$

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(12, \infty)$ perché $f'' (14)$ è positivo.

Funzione convessa su $(12, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su $(0, 12)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(12, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Step 9