Calcolo Esempi

$x^{3}$

Step 1

Scrivi $x^{3}$ come funzione.

$f (x) = x^{3}$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x)$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x$ .

$6 x$

Step 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x = 0$

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 0$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $6$ .

$x = 0$

Step 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{3}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$0$

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Step 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 6 (- 0.1)$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.6$

La risposta finale è $- 0.6$ .

$- 0.6$

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.6$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 6 (0.1)$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $6$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.6$

La risposta finale è $0.6$ .

$0.6$

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.6$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Step 9