Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4}$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} = 0$

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 0$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0$ per $12$ .

$x^{2} = 0$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Step 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0$

La risposta finale è $0$ .

$0$

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01$

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12$

La risposta finale è $0.12$ .

$0.12$

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $0.12$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01$

Moltiplica $12$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12$

La risposta finale è $0.12$ .

$0.12$

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.12$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia segno, da più a meno o da meno a più. Sul grafico non ci sono punti che soddisfano queste condizioni.

Nessun punto di flesso