Calcolo Esempi

$\sqrt{x - 1}$

Step 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y - 1}$

Step 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y - 1} = x$ .

$\sqrt{y - 1} = x$

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y - 1}}^{2} = x^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Riscrivi l'espressione.

${(y - 1)}^{1} = x^{2}$

Semplifica.

$y - 1 = x^{2}$

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} + 1$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$

Step 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(\sqrt{x - 1})}^{2} + 1$

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 1$

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = (x - 1) + 1$

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x - 1 + 1$

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x + 0$

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x - 1}) = x$

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Calcola $f (x^{2} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{(x^{2} + 1) - 1}$

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} + 1) = x$

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 1$