Calcolo Esempi

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Step 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{y^{2} - 1}$

Step 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{y^{2} - 1} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 1} = x$

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = x^{2}$

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y^{2} - 1}$ come ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica gli esponenti in ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Riscrivi l'espressione.

${(y^{2} - 1)}^{1} = x^{2}$

Semplifica.

$y^{2} - 1 = x^{2}$

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = x^{2} + 1$

Trova la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$

Step 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ e confrontali.

Trova l'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Find the domain of the inverse.

Tocca per altri passaggi...

Trova il dominio di $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{2} + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 1 \geq 0$

Risolvi per $x$ .

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Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} \geq - 1$

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Tocca per altri passaggi...

L'unione è costituita da tutti gli elementi contenuti in ogni intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}, - \sqrt{x^{2} + 1}$ non è un inverso di $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

Non c'è alcun inverso

Step 5