Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)}$

Step 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Calcola il limite del numeratore.

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Calcola il limite.

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Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Semplifica la risposta.

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Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Calcola il limite del denominatore.

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Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Step 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Step 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Step 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} 1 x$

Step 5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} x$

Step 6

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$1$