Calcolo Esempi

$f (x, y) = \ln (x - y)$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x - y)$

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot \frac{d}{d x} (x - y)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot (1 + 0)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y} \cdot 1$

Moltiplica $\frac{1}{x - y}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x - y}$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $\frac{1}{x - y}$ come ${(x - y)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{- 1})$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - y)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - y$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - y)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- y))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- y))$

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} (1 + 0)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2} \cdot 1$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - {(x - y)}^{- 2}$

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$