Calcolo Esempi

$\sin (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.3

Poiché l'espressione su ogni lato dell'equazione ha lo stesso denominatore, i numeratori devono essere uguali.

$x = π$

Passaggio 2.3.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.3.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.5.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.5.2.2.1

Semplifica $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Passaggio 2.3.5.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = 4 π - π$

Passaggio 2.3.5.2.2.1.6

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = 3 π$

Passaggio 2.3.6

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 2.3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.3.6.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.6.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Passaggio 2.3.6.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Passaggio 2.3.7

Il periodo della funzione $\cos (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\sin (\frac{x}{2})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = π$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 3 π$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $3 π$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.2.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5