Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}}$

Step 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Step 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Step 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{3 x^{2}}$

Step 4

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}}$

Step 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Sottrai $\sin (x)$ da $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Step 6

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Step 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

Dividi $- \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Step 8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Step 9

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Step 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1 \cos (0)$

$\frac{1}{6}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{6} \cos (0)$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6} \cos (0)$

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- \frac{1}{6} \cdot 1$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{6}$