Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)}$

Step 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} \tan (8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{\tan (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{\tan (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{\tan (8 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (2 t)}$

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{t \to 0} t)}$

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Step 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (8 t)}{\sin (2 t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Step 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\tan (8 t)]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \tan (t)$ e $g (t) = 8 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Poiché $8$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $8 t$ rispetto a $t$ è $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) (8 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Moltiplica $8$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t) \cdot 8}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Sposta $8$ alla sinistra di $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \cdot \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Moltiplica $8$ per $\sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]}$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]}$

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]}$

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])}$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) (2 \cdot 1)}$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t) \cdot 2}$

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cdot \cos (2 t)}$

Moltiplica $2$ per $\cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{8 \sec^{2} (8 t)}{2 \cos (2 t)}$

Step 4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $8 \sec^{2} (8 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $2 \cos (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 (\cos (2 t))}$

Elimina il fattore comune.

$lim_{t \to 0} \frac{2 (4 \sec^{2} (8 t))}{2 \cos (2 t)}$

Riscrivi l'espressione.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\sec^{2} (8 t)}{\cos (2 t)}$

Step 6

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \sec^{2} (8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 7

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (8 t)$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$4 \frac{{(lim_{t \to 0} \sec (8 t))}^{2}}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$4 \frac{\sec^{2} (lim_{t \to 0} 8 t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 9

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (2 t)}$

Step 10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} 2 t)}$

Step 11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 lim_{t \to 0} t)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Step 12

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 lim_{t \to 0} t)}$

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$4 \frac{\sec^{2} (8 \cdot 0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Step 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $8$ per $0$ .

$4 \frac{\sec^{2} (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $0$ .

$4 \frac{1}{\cos (0)}$

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{1}{1})$

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 1$

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$