Calcolo Esempi

$y = \sec (2 x)$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sec (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$f' (x) = \sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Step 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$f''' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Moltiplica $\tan^{2} (2 x)$ per $\tan (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $\tan^{2} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = 4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{3} (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \cdot (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 \sec^{3} (2 x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sec^{3} (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\sec (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u (4)} ({u_{4}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\sec (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (5)} (\sec (u_{5})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

La derivata di $\sec (u_{5})$ rispetto a $u_{5}$ è $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $2 x$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $6$ per $4$ .

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = 4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f''' (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Riordina i fattori di $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Somma $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ e $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Step 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{3} (2 x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sec (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan^{3} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{3}) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (3)} (\tan (u_{3})) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{3} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $\tan^{3} (2 x)$ per $\tan (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $\tan^{3} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan (2 x) \tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 ({\tan (2 x)}^{1 + 3} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Somma $1$ e $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (\tan^{4} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{4} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \cdot (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (3 \tan^{2} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} (40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec^{3} (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\frac{d}{d u (4)} (\tan (u_{4})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

La derivata di $\tan (u_{4})$ rispetto a $u_{4}$ è $\sec^{2} (u_{4})$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec^{3} (2 x)))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $\sec (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (5)} ({u_{5}}^{3}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ è $n {u_{5}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 {u_{5}}^{2} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $\sec (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{6}$ come $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u (6)} (\sec (u_{6})) \frac{d}{d x} (2 x))))$

La derivata di $\sec (u_{6})$ rispetto a $u_{6}$ è $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} (2 x))))$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{6}$ con $2 x$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))))$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Moltiplica $\sec^{3} (2 x)$ per $\sec^{2} (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\sec^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 ({\sec (2 x)}^{2 + 3} \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Somma $2$ e $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (\sec^{5} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{5} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \cdot \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1))))$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2)))$

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)))))$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 (\sec (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x)))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x)))$

Somma $1$ e $2$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + \tan (2 x) (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)))$

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 x)))$

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) {\tan (2 x)}^{1 + 1})$

Somma $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x) + 6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = 8 (2 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f^{4} (x) = 16 (\tan^{4} (2 x) \sec (2 x)) + 8 (6 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Moltiplica $6$ per $8$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 (\tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 40 (2 \sec^{5} (2 x)) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Moltiplica $2$ per $40$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 40 (6 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Moltiplica $6$ per $40$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 (\sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x))$

Riordina i fattori di $48 \tan^{2} (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x) + 240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$

Somma $48 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ e $240 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ .

$f^{4} (x) = 16 \tan^{4} (2 x) \sec (2 x) + 288 \sec^{3} (2 x) \tan^{2} (2 x) + 80 \sec^{5} (2 x)$