Calcolo Esempi

$\sin^{2} (2 t)$

Step 1

Sia $u_{1} = 2 t$ . Allora $d u_{1} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{1} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

$\sin^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Applica la regola costante.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Semplifica.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (2 (2 t))) + C$

Step 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{1}{2} \sin (4 t)) + C$

$\sin (4 t)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 t - \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Scomponi $2$ da $2 t$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (t)) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 t) + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

$\frac{1}{2}$ e $t$ .

$\frac{t}{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2}) + C$

Moltiplica $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (4 t)}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (4 t)}{2}$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{4 \cdot 2} + C$

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C$

Step 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C$