Calcolo Esempi

$f (x) = \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x))$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sin (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \sin (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 \sin (2 x) \cos (2 x)$

Passaggio 1.3.4.2

Riordina i fattori di $4 \sin (2 x) \cos (2 x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (2 x) \sin (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (2 x) \sin (2 x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (2 x)$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.7

Differenzia.

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Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.7.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.7.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.7.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.7.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos^{2} (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} (\cos (2 x)))$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.8.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.10

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1)$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 2.17

Semplifica.

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Passaggio 2.17.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 4 (2 \cos^{2} (2 x)) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 2.17.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.17.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) + 4 (- 2 \sin^{2} (2 x))$

Passaggio 2.17.2.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = 8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$ .

$8 \cos^{2} (2 x) - 8 \sin^{2} (2 x)$