Calcolo Esempi

$\cos^{3} (2 x)$

Step 1

Scrivi $\cos^{3} (2 x)$ come funzione.

$f (x) = \cos^{3} (2 x)$

Step 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Step 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \cos^{3} (2 x) d x$

Step 4

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 5

$\cos^{3} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Metti in evidenza $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\cos^{2} (u_{1})$ come $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Step 9

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sia $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Step 14

Semplifica.

$\frac{1}{2} (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Step 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

$\sin^{3} (2 x)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{\sin^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 17

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$

Step 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (2 x) - \frac{1}{6} \sin^{3} (2 x) + C$