Calcolo Esempi

$x^{2} \ln (x)$

Step 1

Scrivi $x^{2} \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Dividi $x$ per $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Step 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \ln (x) = - 3$

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 3$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Step 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = x^{2} \ln (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Sposta $e^{\frac{3}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Espandi $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ spostando $- \frac{3}{2}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Moltiplica $\frac{1}{e^{3}}$ per $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{e^{3} \cdot 2}$

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{3}{2 e^{3}}$

La risposta finale è $- \frac{3}{2 e^{3}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{3}}$

Il punto trovato sostituendo $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = x^{2} \ln (x)$ è $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.12313016$ nell'espressione.

$f'' (0.12313016) = 2 \ln (0.12313016) + 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica $2 \ln (0.12313016)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.12313016) = \ln ({0.12313016}^{2}) + 3$

Eleva $0.12313016$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.12313016) = \ln (0.01516103) + 3$

La risposta finale è $\ln (0.01516103) + 3$ .

$\ln (0.01516103) + 3$

Per $0.12313016$ , la derivata seconda è $- 1.18902654$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.32313016$ nell'espressione.

$f'' (0.32313016) = 2 \ln (0.32313016) + 3$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica $2 \ln (0.32313016)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.32313016) = \ln ({0.32313016}^{2}) + 3$

Eleva $0.32313016$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.32313016) = \ln (0.1044131) + 3$

La risposta finale è $\ln (0.1044131) + 3$ .

$\ln (0.1044131) + 3$

In corrispondenza di $0.32313016$ , la derivata seconda è $0.74059987$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{3}{2 e^{3}})$

Step 9