Calcolo Esempi

$x^{2} \cos (x)$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Riordina i termini.

$f' (x) = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x \cos (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 2 (x (- \sin (x))) + 2 \cos (x)$

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 2 (x (\sin (x))) + 2 \cos (x)$

Sottrai $2 x \sin (x)$ da $- 2 \sin (x) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Sottrai $2 x \sin (x)$ da $- 2 x \sin (x)$ .

$f'' (x) = - x^{2} \cos (x) - 4 x \sin (x) + 2 \cos (x)$