Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Moltiplica $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

$\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π - 0)$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = 2 π$

Trova il periodo di $\sin (\frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 2$

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 π$

Il periodo della funzione $\sin (\frac{x}{2})$ è $4 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $4 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Step 3

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Step 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 0.1$ per $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Calcola $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $- 0.04997916$ per $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Moltiplica $- 1$ per $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

La risposta finale è $0.01249479$ .

$0.01249479$

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $0.01249479$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty,)$ .

Crescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) > 0$

Step 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0.1$ per $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Calcola $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Dividi $0.04997916$ per $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Moltiplica $- 1$ per $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

La risposta finale è $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 0.01249479$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(, \infty)$ .

Decrescente su $(, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Step 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(,)$ .

$(,)$

Step 8