Calcolo Esempi

$e^{x} \sin (x)$

Step 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Step 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Somma $\cos (x) e^{x}$ e $e^{x} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Riordina $\cos (x)$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Somma $e^{x} \cos (x)$ e $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Riordina $\sin (x)$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + e^{x} \sin (x)$

Riscrivi $- 1 e^{x}$ come $- e^{x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Somma $- e^{x} \sin (x)$ e $e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x) + 0$

Somma $2 e^{x} \cos (x)$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Step 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Riordina i termini.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Step 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- 2 e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 e^{x} \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x} \cos (x))$

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{x} \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{x} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x}))$

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = - 2 (e^{x} \cos (x)) - 2 (\sin (x) e^{x}) + 2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 \sin (x) e^{x} - 2 (e^{x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Sottrai $2 e^{x} \sin (x)$ da $- 2 \sin (x) e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Sottrai $2 e^{x} \sin (x)$ da $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - 2 e^{x} \cos (x) - 4 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Somma $- 2 e^{x} \cos (x)$ e $2 \cos (x) e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Sposta $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Somma $- 2 e^{x} \cos (x)$ e $2 e^{x} \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x) + 0$

Somma $- 4 e^{x} \sin (x)$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 4 e^{x} \sin (x)$