Calcolo Esempi

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Riordina i termini.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + \sin (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Somma $0$ e $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Step 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Riordina i fattori in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Riordina i fattori in $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Sottrai $y' \cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Somma $y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Scomponi $y'$ da $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Scomponi $y'$ da $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Riscrivi $- 1 \cos (y)$ come $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Dividi per $- x \sin (x y) - \cos (y)$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Dividi per $- x \sin (x y) - \cos (y)$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune di $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Scomponi $- 1$ da $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Riscrivi $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ come $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$